Изменился адрес Архивача в сети Tor — arhivachqqqvwqcotafhk4ks2he56seuwcshpayrm5myeq45vlff44yd.onion. Установите Tor Browser для беспрепятственного доступа!

Распределение рациональных и иррациональных чисел.

 Аноним 10/08/15 Пнд 04:37:09 #1 №290777 
14391706292220.png
Вопрос, который уже третий год не дает мне спать.
Сразу тапками не кидайте - я не до конца соображу, как правильно (понятно) вопрос сформулировать, не говоря уже о том, чтобы самому нагуглить.

Вопрос в том, как чередуются на окружности рациональные/иррациональные косинусы (или синусы - не суть). Смотри, если взять скажем 0°, прибавлять к этому углу децл и считать косинусы - получаются чередующиеся рациональные/иррациональные числа. Например, если децл = pi/6, получим:
Cos(0) - рациональное число
Cos(30) - иррациональное
Cos(60) - рациональное
Cos(90) - рациональное
Ну и, допустим, обозначить иррациональные ноликами, а рациональные - единичками. Получается последовательность 1011101011101, пока вся эта ебалайка не сделает полный круг.
Если брать децл = pi/12, получаем другую последовательность: 1000101010001000101010001.
А если, например, взять децл = pi/987? Или не обязательно pi, а еще чего-нить. Децл = arccos(1/1000) - тогда вообще все косинусы рациональные. А есть ли такой децл, чтобы это чередование выглядело как 10101010... ?
И самое главное - как будет выглядеть вот эта чередовина рациональных/иррациональных чисел, если децл->0?
Loading...
Аноним 10/08/15 Пнд 08:11:13 #2 №290782 
Вот тут у тебя ошибка:
> Децл = arccos(1/1000) - тогда вообще все косинусы рациональные

cos(2a) не равно 2cos(a)
Аноним 10/08/15 Пнд 08:28:55 #3 №290783 
14391845354070.png
>>290782
Э... что? 0.666 - рациональное число (можно представить в виде дроби 666/1000). Арккосинус этого числа дает угол. Косинус этого угла дает рациональное число 0.666.
Аноним 10/08/15 Пнд 08:41:39 #4 №290785 
>>290783
Я про то, что ты сам пишешь
> прибавлять к этому углу децл и считать косинусы
Косинус арккосинуса(1/1000), умноженного на два, не равен 2/1000.
Аноним 10/08/15 Пнд 08:53:19 #5 №290788 
>>290785
Понял. Спишем на невнимательность.
Тогда можно так сформулировать вопрос: есть ли такой децл, чтобы все косинусны были рациональными (или наоборот - иррациональными)?
Аноним 10/08/15 Пнд 09:22:25 #6 №290791 
Как считать чему равно cos 2, cos 3, cos 4, sin 2, sin 3, sin 4...Это просто количество оборотов в единичной окружности? Т.е везде функции равны значению функции от единици?
Аноним 10/08/15 Пнд 09:42:51 #7 №290797 
Действительные (и рациональные, и нет) числа несчётны. Рациональность зависит от точности твоего указательного пальца, выбирающего точку на числовой оси.
Аноним 10/08/15 Пнд 09:43:50 #8 №290798 
>>290797
(Количество рациональных и нерациональных чисел будет определяться лишь способом их выбора.)
Аноним 10/08/15 Пнд 09:49:58 #9 №290800 
>>290791
Это число радианов. Одна окружность - 2pi радиан.
Аноним 10/08/15 Пнд 11:10:12 #10 №290804 
для децла pi/1 все числа рациональные.
Аноним 10/08/15 Пнд 11:12:06 #11 №290805 
>>290804
И для pi/2.
Аноним 10/08/15 Пнд 11:24:37 #12 №290807 
>>290805
И для pi/5 почти все иррациональные кроме cos(5(pi/5)).Но абсолютно иррационального ряда и быть не может, т.к для произвольного n,существует cos(n(pi/n))=1
Аноним 10/08/15 Пнд 11:44:44 #13 №290809 
Так же ряд вида: cos(n(pi/k!)) при n=1,2.....k! включает в себя все ряды вида cos(n(pi/c)), где n=1,2.....c и c<k.
Аноним 10/08/15 Пнд 12:01:57 #14 №290811 
Моя гипотеза такова: не существует рациональных рядов вида cos(n*(pi/x)) при n=1,2.....x, кроме cos(n(pi/2)) и cos(n(pi/3)).
Аноним 10/08/15 Пнд 12:52:19 #15 №290817 
Для децла pi/4: 1010101...
Аноним 10/08/15 Пнд 12:56:45 #16 №290819 
>>290817
То есть: 0101010...
Аноним 10/08/15 Пнд 13:19:34 #17 №290822 
Занятно, для pi/4:0101.. , для pi/9:001001... , более того для pi/16: 00010001.... Можно предположить , что для pi/(x^2), ряд выглядит как: x-1 нулей, единица, x-1 нулей, единица...
Аноним 10/08/15 Пнд 13:31:25 #18 №290824 
Вообщем вот все ряды pi/x до десяти(выписана часть, которая далее повторяется):
1: 1..
2: 11...
3: 111...
4: 0101...
5: 00001...
6: 011101...
7: 0011001...
8: 10010011...
9: 001001001...
10:0000100001...
Аноним 10/08/15 Пнд 13:49:46 #19 №290829 
>>290822
pi/x^3 для всех x кроме 2:единица, x^2-1 нулей, единица, x^2-1 нулей...
Аноним 10/08/15 Пнд 13:52:55 #20 №290830 
>>290829
Упс, ошибся, это не верно 64: 00000001...
Аноним 10/08/15 Пнд 14:36:09 #21 №290837 
>>290777 (OP)
Найди метод построить угол в 20° линейкой и циркулем, и подавай заяву на нобелевку!
Аноним 10/08/15 Пнд 15:09:01 #22 №290845 
>>290798
>Количество рациональных и нерациональных чисел будет определяться лишь способом их выбора.
Вопрос не в количестве, а в том, как они чередуются. Способ выбора вполне конкретно озвучен.
Аноним 10/08/15 Пнд 15:14:52 #23 №290848 
>>290807
>Но абсолютно иррационального ряда и быть не может
Децл=1?
knuebok 10/08/15 Пнд 15:33:02 #24 №290855 
Теорема Нивена: http://mathworld.wolfram.com/NivensTheorem.html
knuebok 10/08/15 Пнд 15:36:44 #25 №290856 
Да, и из теоремы Линдемана-Вейерштрасса (https://en.wikipedia.org/wiki/Lindemann%E2%80%93Weierstrass_theorem) немедленно следует, что если x - алгебраическое ненулево число, то sin(x) трансцендентно (в том числе и иррационально).
Эти две теоремы отвечают на большую часть поставленных вопросов в стартовом посте.
Аноним 10/08/15 Пнд 16:42:23 #26 №290870 
>>290855
>>290856
И?
knuebok 10/08/15 Пнд 17:27:25 #27 №290887 
Что и?
>А если, например, взять децл = pi/987?
То, по теореме Нивена, в ряду sin(n pi/987) n = 1, 2, 3, ... все будут иррациональными. В общем случае, если sin(n pi/m) будет рациональным тогда и только тогда, когда оно может быть представлено как:
n pi/m = pi k
n pi/m = +-pi/2 + 2pik
n pi/m = +-pi/6 + 2pik
>И самое главное - как будет выглядеть вот эта чередовина рациональных/иррациональных чисел, если децл->0?
Можно выбрать сколь угодно малое алгебраическое число, а для алгебраических чисел такой ряд будет выглядеть как 000000... Для некоторых трансцендентных ряд не будет строго нулевым.
Я ничего не сказал про:
>Или не обязательно pi, а еще чего-нить.
Но по мне так вопрос очень размыт.
Про это: "А есть ли такой децл, чтобы это чередование выглядело как 10101010... ?", - ещё подумаю.
Аноним 10/08/15 Пнд 17:48:36 #28 №290893 
>>290845
Они не чередуются. Между двумя отличающимися действительными числами бесконечное количество рациональных и иррациональных.
knuebok 10/08/15 Пнд 18:06:12 #29 №290897 
>>290887
>тогда и только тогда, когда оно может быть представлено как:
Ещё два семейства решений забыл
5pi/6 + 2pik
7pi/6 + 2pik
Аноним 10/08/15 Пнд 19:14:28 #30 №290909 
>>290848
Он рационален.
Аноним 10/08/15 Пнд 19:23:24 #31 №290913 
cos(n*(pi/x)) при x=0,5
000000001000...
Аноним 10/08/15 Пнд 19:25:45 #32 №290914 
>>290913
А для 0,05
000000....01100....
Две единицы в 90 и 91 позиции.
Аноним 10/08/15 Пнд 19:27:32 #33 №290917 
>>290914
А еще в 98 и 45 позиции.
Аноним 10/08/15 Пнд 19:32:54 #34 №290918 
>>290917
Но в принципе, можнно сказать, что в ряд cos(n*(pi/x)) при
X->бесконечности стремится к 00000000.....
Аноним 10/08/15 Пнд 19:33:00 #35 №290919 
>>290893
Попробуй в вопрос вникнуть.
Если считать косинусы cos(n × pi/12) для каждого n (где n - целое число от нуля и далее) - получим последовательность (чередование) 1000101010001000101010001..., где 1 - рациональное число, 0 - иррациональное.
То есть, понятно, что между теми корень_из_трёх_на_два (cos30°) и корень_из_двух_на_два (cos45°) можно налепить бесконечное множество как рациональных, так и иррациональных чисел. Но они в нашей выборке cos(n × pi/12) не участвуют.
Дальше, как я понял товарища Нивена >>290855 , если брать косинусы от чисел, кратных pi/m - на окружности получится максимум 8 рациональных косинусов.
Дальше, как я понял товарища Вейерштрасса >>290856 , если брать косинусы от бесконечно маленьких рациональных чисел - получатся только иррациональные косинусы.
Ну а если это число не рациональное? Ну пес его знает, какое-нить exp(1)/infinity или sqrt(10)/infinity или еще чего-нить в таком роде.
Ну и опять же, между 0 и 1 на числовой оси можно налепить сколько угодно рациональных/иррациональных точек. Можно выбрать из них два числа - одно иррациональное, другое - рациональное, которые находятся очень близко друг к другу. Дальше посчитать разницу между косинусами, которые дают эти числа. Получится такой очень децльный угол. И дальше к вот тому углу (косинус которого дает рациональное число) добавлять этот угол целое число раз - получится ли на окружности найти другие углы, косинусы которых дают тоже рациональное число? Или опять Нивен насрет в душу и окажется, что их там не больше 8-ми, как не крути? Ну тогда мы насрем этому Нивену на голову и выберем два рациональных числа, которые очень близко... и дальше по тексту
Аноним 10/08/15 Пнд 19:53:24 #36 №290928 
>>290918
Так оно понятно, что если x стремится к бесконечности - пока он там доберется до 60° - можно трижды состариться и сдохнуть.
Аноним 10/08/15 Пнд 20:06:24 #37 №290936 
14392263847550.jpg
>>290918
Мне бы, понял, алгоритм такой, чтобы можно было табличку нарисовать - как в случае с взаимно-простыми числами. По X - одно число, по Y - другое число, на пересечении пиксель черный или белый (в зависимости от того, взаимно-простые они или не очень). Быстро, стильно, молодежно и дальше уже чисто визуально ищем закономерность. Вот так же и для cos(n*m) если бы сделать. Чтобы по X - вот то pi/x или sqrt(10)/x, а по Y - n. И тоже отметить, где они там рациональные. Только вот мой Бейсик не умеет в рациональное/иррациональное. Он всё округляет.
Аноним 10/08/15 Пнд 20:16:08 #38 №290941 
>>290936
CAS в виде библиотеки юзай в своём бейсике. Или пиши программу в CAS.
Аноним 10/08/15 Пнд 20:25:58 #39 №290952 
>>290941
>CAS в виде библиотеки юзай в своём бейсике.
В мой "бейсик" такую приблуду не завезли.
>Или пиши программу в CAS.
Типа Maple?
Аноним 10/08/15 Пнд 20:55:57 #40 №290969 
>>290952
Угу.
Аноним 10/08/15 Пнд 21:58:59 #41 №290993 
14392331391100.jpg
>>290777 (OP)
>децл
Аноним 10/08/15 Пнд 22:05:51 #42 №290994 
14392335516360.png
>>290993
δ-ецл
Аноним 10/08/15 Пнд 23:18:45 #43 №291011 
Говоря о ряде cos(n(pi/x)) при n=1,2....x
Если x представим в виде x=m
n где x,m,n целые, то в позициях ряда кратных n, находится символ(0 или 1) соответствующий f/n-ой позиции в ряду m. (Где f, текущая кратная позиция.) Например:
6=3*2, все позиции кратные двум соответствуют позициям из ряда 3
Ряд 3: 111111....
То есть во всех позициях кратных двум стоит единица:
Набросок ряда 6:
@[email protected]@1...
То же во всех позициях кратных 3
@[email protected]@[email protected]
Подобным образом можно конструировать ряды.
Аноним 10/08/15 Пнд 23:22:25 #44 №291016 
>>291011
То же для ряда 8:
8=4*2
Во все позиции кратные 2 копируется ряд 4
@[email protected]@[email protected]@0...
Аноним 10/08/15 Пнд 23:30:35 #45 №291017 
>>290777 (OP)
Тригонометрические функции есть суммы экспонент, то бишь трансцендентных функций. Значит, они будут выдавать иррациональные а может и трансцендентные значения в рациональных точках 0 может быть исключением, и рациональные в трансцендентных.
Аноним 10/08/15 Пнд 23:32:17 #46 №291018 
>>291016
Ряд 9:
Каждая третья позиция единица( по предыдущему алгоритму 9=3*3)
@@[email protected]@[email protected]@1
Аноним 10/08/15 Пнд 23:37:47 #47 №291023 
>>291018
При простых разложениях (на два простых множителя)
10=25
9=3
3
@ заменяется на 0
Из предыдущего примера:
001001001001001....
Это же объясняет закономерность из>>290822
поста.
Аноним 10/08/15 Пнд 23:39:01 #48 №291024 
>>291023
10=2 умножить на 5
9=3^2
Фикс.
Аноним 11/08/15 Втр 02:21:58 #49 №291069 
14392489184990.png
>>291017
Картинку нарисовал. Смотри, берем две рандомные точки на оси X. Причем такие точки, чтобы:
1. Координаты эти точек можно записать в виде дроби;
2. Расстояние между точками ->0
3. Точки находятся между координатами 0 и 1.
Дальше рисуем окружность с радиусом 1 и центром в точке (0, 0). Отмечаем наши две точки на этой окружности и получаем два угла. Разница этих углов = дельта. Вот эта дельта - бесконечно маленький угол.
Дальше, что мы про этот угол знаем.
Он не кратный числу pi, то есть нельзя записать pi=k×дельта. (Это умозаключение можем сделать из теоремы Нивена >>290855 . Из Нивена имеем, что если угол кратный числу pi - на окружности можно нарисовать 8 точек, косинусы которых - рациональные числа. Ближайшие две такие точки находятся на расстоянии 30°. В нашем же случае имеем бесконечно маленькое расстояние).
Отсюда можно сделать интересный вывод. Если отмерять этот угол дельта×n, где n=1, 2, 3, ... от начала координат - он никогда не сделает оборот = k×pi, проскочит 0° и пойдет делать следующий круг. Так до бесконечности (даже если этот угол не бесконечно маленький, а равен 1 радиану, например).
Идем дальше. Чтобы не упираться в теорему Вейерштрасса (пока не ясно - рациональный этот угол дельта или иррациональный (но как минимум один из углов альфа и бета - иррациональный)), будем отмерять этот угол дельта не от нулевого угла, а от угла альфа. Косинус угла альфа - рациональное число. Следующий угол альфа+дельта×n (n=1) - угол бета. Косинус этого угла тоже рациональное число. А дальше не понятно. Косинус следующего угла - рациональный или не очень? А следующего после следующего? А будут ли там еще рациональные косинусы? А если будут - в какой последовательности они чередуются с иррациональными? А если, допустим, этот угол дельта у нас таки иррациональный и отмерять мы его будем не от угла альфа, а от нулевого угла - как тогда изменится ситуация?
Аноним 11/08/15 Втр 10:14:50 #50 №291097 
Я не понял вопроса.
Почему некоторые косинусы/синусы/котангенсы/понел да будут иметь вид бесконечной дроби? Так это вопрос уровня почему числа бесконечны. Потому что так надо, исходя из обычных лгических предпосылок.
Аноним 11/08/15 Втр 17:41:35 #51 №291311 
>>291097
Охуительная история. Завтра в бога начнем верить.
Аноним 11/08/15 Втр 18:45:27 #52 №291319 
14393079270510.png
>>290919
А теперь попробуй вникнуть ты.
НЕТ НИКАКОГО ЧЕРЕДОВАНИЯ
Есть отрезок [0,1] любое число из которого соответствует косинусу какого-то угла. Между любыми двумя рациональными числами из этого отрезка лежит бесконечно много иррациональных. Вот и все чередование. Косинусы тут вообще ни при чем.
Аноним 11/08/15 Втр 19:01:10 #53 №291324 
>>291069
B хули тебе толку с рациональных косинусов? Ты же начал с того, что хочешь сделать какую-то табличку >>290936
>Вот так же и для cos(n*m) если бы сделать
Но у рационального косинуса будет иррациональный угол и как ты будешь этот иррациональный угол писать в свою табличку?
Аноним 11/08/15 Втр 19:54:31 #54 №291347 
14393120719040.png
>>291319
Можно я в тебя чем-то тяжелым брошу? Функция у нас не непрерывная, а вполне дискретная. При задании вполне конкретного шага дискретизации cos(n×децл), где n - целое число (1, 2, 3, ... и т.д.) - получаем вполне конкретные значения функции, которым соответствуют вполне конкретные рациональные или иррациональные точки на оси y. Все, что лежит между этими точками - нас никоим образом не ебёт.
Аноним 11/08/15 Втр 20:08:50 #55 №291354 
>>290777 (OP)
>И самое главное - как будет выглядеть вот эта чередовина рациональных/иррациональных чисел, если децл->0?
Рациональных косинусов счетное множество, иррациональных континуум.
/тхреад
Аноним 11/08/15 Втр 20:10:14 #56 №291356 
>>290788
Конечно есть. Например pi/2.
Аноним 11/08/15 Втр 20:21:33 #57 №291359 
>>291324
>хули тебе толку с рациональных косинусов?
Чтобы выяснить, что то за хуйня такая - число Pi, и почему оно иррационально.
>>291354
>Рациональных косинусов счетное множество
Найс стори, /b/ро. Между 0 и 1 можно бесконечное число рациональных точек налепить, косинус арккосинуса которых будет рациональным числом.
Аноним 11/08/15 Втр 20:32:37 #58 №291362 
>>291311
Бог не играет в кости.
Аноним 11/08/15 Втр 20:39:59 #59 №291365 
>>291362
Альберт, залогинься
Аноним 11/08/15 Втр 20:42:38 #60 №291366 
>>291365
Ади, ступай рисовать.
Аноним 11/08/15 Втр 21:32:56 #61 №291383 
>>291359
>Чтобы выяснить, что то за хуйня такая - число Pi, и почему оно иррационально.
А ведь ты не из тех, кто ищет легких путей.
Аноним 11/08/15 Втр 22:33:11 #62 №291421 
>>291366
Ади?
Аноним 11/08/15 Втр 22:41:13 #63 №291426 
14393220734250.jpg
>>291421
Аноним 11/08/15 Втр 22:49:01 #64 №291430 
>>291426
Эти пидоры не оценили по достоинству мои рисунки.
Аноним 11/08/15 Втр 22:54:59 #65 №291434 
>>291430
Эти пидоры теперь могут жениться друг на друге вместо эвтаназии, Ади.
Аноним 11/08/15 Втр 23:21:55 #66 №291442 
>>291434
Эх, вот в мои времена всё было по-другому...
Аноним 12/08/15 Срд 13:40:47 #67 №291653 
>>291023
Что делать с кубами, 2^3 например, пока не понятно.
Аноним 12/08/15 Срд 21:14:43 #68 №291796 
>>291653
А если, скажем, с другой стороны к вопросу подойти. С точки зрения неевклидовой геометрии.
Аноним 12/08/15 Срд 23:22:00 #69 №291827 
>>291796
Чта?
Аноним 25/09/15 Птн 19:02:27 #70 №300539 
Чуть не утонуло
Аноним 25/09/15 Птн 20:13:20 #71 №300566 
А давай-ка возьмём определение косинуса через ряд Тейлора? Каким образом бесконечный степенной ряд может отобразить рациональные числа - в иррациональные и наоборот? Еще можно через формулу Эйлера мнимой экспоненты накатить.
Функан-матан-братья, помогите.
не-оп
Аноним 05/10/15 Пнд 22:12:51 #72 №302720 
Опять утопили. Где все математики?
knuebok 05/10/15 Пнд 22:48:52 #73 №302725 
>>302720
Так с задачей ведь всё понятно, я же даже расписывал как-то в этом треде. Если мы берём шаг соизмеримым с pi - то абсолютно ясно как себя последовательность будет вести (все рациональные q при которых sin(q pi) рационально описаны). Если шаг не соизмерим с pi - то видимо, сколь либо серьезного анализа провести вообще нельзя. Близость/неблизость шага к нулю не при чём абсолютно.
Аноним 05/10/15 Пнд 23:46:35 #74 №302735 
Всплыло говно.

For a, b relatively prime integers (with b > 0), then sin(aπ/b), cos(aπ/b), and tan(aπ/b) are rational only at the obvious values of a/b (in particular,b can not be other than 1,2,3,4, or 6)

https://editorialdinosaurio.files.wordpress.com/2012/03/itn-niven.pdf
Теорема 6.16 вот тут.
knuebok 06/10/15 Втр 00:04:33 #75 №302738 
however
>>290855
Аноним 03/11/15 Втр 10:01:22 #76 №308921 
>>302725
Печально это.
comments powered by Disqus

Отзывы и предложения